Bu makale, sonlu devirli grupları, öz alt gruplarının mertebeleri toplamına göre sınıflandırmayı amaçlamaktadır. Bir G grubunun devirli alt grup toplamı S(G) olarak tanımlanır ve G'nin mertebesi n olmak üzere, n'nin kendisinden küçük tüm pozitif bölenlerinin toplamını ifade eder. Makale, S(G) < n, S(G) = n ve S(G) > n olmak üzere üç farklı durumu incelemektedir. Örneğin, Z_2 grubunun S(G) değeri 1 olup, mertebesi 2'den küçüktür; Z_6 grubunun S(G) değeri 6 olup, mertebesine eşittir; Z_18 grubunun S(G) değeri ise 21 olup, mertebesi 18'den büyüktür. Bu örnekler, her üç durumun da mümkün olduğunu göstermektedir.
Makale ayrıca, devirli alt grup toplamı S(G) = 1 olan sonlu devirli grupların bir cisim olduğunu kanıtlayan önemli bir teorem sunmaktadır. Bu teorem, S(G)'nin 1 olması durumunda, grubun mertebesi n'nin sadece 1 ve n olmak üzere iki pozitif bölene sahip olması gerektiğini, yani n'nin bir asal sayı olması gerektiğini ortaya koyar. Dolayısıyla, bu tür bir grup Z_p formunda bir cisimdir. Bu bulgu, cebirsel yapılar arasındaki derin bağlantıları gözler önüne sermektedir.
Ancak, teoremin karşıt önermesinin her zaman doğru olmadığı belirtilmektedir. Yani, her sonlu cismin devirli alt grup toplamının 1 olması gerekmez. Özellikle, GF(p^n) formundaki sonlu cisimlerin (n >= 2 için) devirli alt grup toplamı her zaman 1'den büyük olacaktır. Bu durum, devirli alt grup toplamı kavramının yalnızca belirli koşullar altında cisimlerle doğrudan ilişkilendirilebileceğini göstermektedir.
Bu çalışma, soyut cebirdeki sonlu devirli grupların yapısal özelliklerini, alt grup mertebelerinin toplamı üzerinden yeni bir bakış açısıyla sınıflandırarak matematiksel teorilere katkıda bulunmaktadır.