Karmaşık sayılar tek boyutlu sayı doğrusunu iki boyutlu düzleme taşıyor

Matematikçiler yüzyıllar boyunca negatif sayıların karekökünü içeren denklemleri çözümsüz kabul etti. İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano 1545 yılında yayımladığı Ars Magna adlı eserinde, üçüncü dereceden denklemleri çözerken negatif köklerle işlem yapıldığında gerçek çözümlere ulaşıldığını fark etti. René Descartes gibi düşünürler bu kavramı hayali olarak niteleyip reddetse de Leonhard Euler eksi birin karekökü için i sembolünü tanımlayarak konuyu matematiksel gösterime kavuşturdu.

On dokuzuncu yüzyılın başında Jean-Robert Argand ve Caspar Wessel, karmaşık sayıların geometrik modelini kurarak sayı doğrusunu iki boyutlu bir koordinat sistemine genişletti. Negatif bir sayıyla çarpmanın sayı doğrusunda 180 derecelik dönüş anlamına gelmesinden yola çıkan matematikçiler, i ile çarpmanın dik bir eksene doğru 90 derecelik dönüş olduğunu saptadı. William Rowan Hamilton 1833 yılında karmaşık sayıları sıralı reel sayı çiftleri olarak tanımlayarak cebirsel kurallarını netleştirdi; Carl Friedrich Gauss ise cebirin temel teoremini bu sayılarla kanıtladı.

Karmaşık sayılar trigonometrik fonksiyonlarla ifade edildiğinde çarpma ve kök alma işlemleri doğrudan açı rotasyonuna dönüşüyor. Abraham De Moivre formülü sayesinde karmaşık bir sayının kuvvetini almak uzunlukları çarpmayı ve açıları toplamayı sağlarken, n dereceden kökler karmaşık düzlemde bir çember etrafına eşit aralıklarla diziliyor. Bu geometrik yapı, karmaşık sayıların soyut bir işlem hilesi değil, dönme ve ölçekleme hareketlerini açıklayan iki boyutlu bir matematik sistemi olduğunu kanıtlıyor.