Eliptik eğriler, hem soyut hem de somut, hem basit hem de karmaşık yönleriyle matematik dünyasının ilgi çekici konularından biridir. Yıllarca sadece saf matematikçiler tarafından, herhangi bir dış uygulama amacı gütmeden incelenmiş olsalar da, günümüzde modern kriptografinin vazgeçilmez bir parçası haline gelmişlerdir. Bu eğriler, temelde y² = x³ + ax + b gibi basit bir denklemi sağlayan noktalar kümesi olarak tanımlanabilir. Ancak bu basit tanım, derinlemesine incelendiğinde oldukça soyut matematiksel kavramları ve incelikleri barındırır.
Tanımın önemli bir kısmı, x, y, a ve b değerlerinin geldiği "alan" (field) kavramıdır. Örneğin, reel sayılar üzerinde çalışıldığında tüm eliptik eğriler bu Weierstrass formuna uyar; ancak karakteristik 2 veya 3 olan alanlarda bu form yeterli olmayabilir. Ayrıca, 4a³ + 27b² ≠ 0 koşulu da eğrinin tekil olmamasını sağlar. Makalede bahsedilen Curve1174 örneği, bir denklemin eliptik eğri olup olmadığının, üzerinde çalışılan alana (örneğin, p = 2251 – 9 modülündeki tam sayılar) bağlı olduğunu açıkça göstermektedir.
İsimlerine rağmen, eliptik eğriler bir elips değildir ve her zaman bildiğimiz anlamda bir "eğri" olmayabilirler. Reel sayılar üzerinde geometrik bir eğri iken, sonlu bir alan üzerinde sonlu bir nokta kümesi, karmaşık sayılar üzerinde ise iki boyutlu bir yüzey olabilirler. Nihai ve daha genel tanım ise, eliptik eğrinin belirli bir O noktasına sahip, düzgün (smooth), izdüşümsel (projective), bir cebirsel eğri ve cinsinin (genus) bir olması gerektiğini belirtir. Bu çok yönlülük, eliptik eğrileri hem teorik hem de pratik uygulamalar için son derece güçlü bir araç haline getirmektedir.
Eliptik eğriler, soyut matematiksel kavramların modern kriptografideki temel uygulamalarıyla nasıl kesiştiğini gösteren kritik bir örnektir.