Matematik dünyasının en zorlu problemlerinden biri olan Collatz Sanısı ($3n+1$), uzun süredir çözülemeyen gizemini koruyor. Bu makale, sanıya sayı dizileri yerine bir sinyal işleme problemi olarak yaklaşarak yeni bir perspektif sunuyor. Yazar, aritmetiği cebirden ayırmak için özel bir hesaplama laboratuvarı kurmuş ve sayıların neden sonunda çöktüğünü gösteren gizli bir "hata haritası" veya entropik bir yapı keşfetmiştir. Bu yaklaşım, Collatz iterasyonunu bir faz geçişi olarak görselleştirmeyi mümkün kılıyor.
Makalede, $N$ sayısını doğrudan ele almak yerine, problemi $P(2)=N$ olacak şekilde bir polinoma yükseltilerek Collatz problemi, Abelian kum yığını modeline benzer dinamik bir sisteme dönüştürülüyor. Yazar, Collatz haritasını iki zıt gücün rekabeti olarak tanımlayan "Sızıntılı Alan" hipotezini öne sürüyor: Bir yanda, mükemmel bir fraktal yapı (Sierpinski Üçgeni) oluşturmaya çalışan doğrusal bir "Üreteç" ($\mathcal{G}$) bulunurken, diğer yanda tamsayı aritmetiğine özgü "Taşıma Yayılımı" olarak adlandırılan ve bilgiyi yüksek dereceli bitlere "sızdıran" doğrusal olmayan bir "Tüketici" ($\mathcal{D}$) yer alıyor. Bu taşıma işlemleri, sistemdeki entropi gibi davranarak yapıyı bozuyor.
Bu hipotezi test etmek amacıyla geliştirilen "Comparator" modülü, standart Collatz yörüngesini (Fiziksel Evren) ideal Galois yörüngesiyle (İdeal Evren) yan yana görselleştirerek, Collatz'ın bir Doğrusal Geri Beslemeli Kaydırma Yazmacı (LFSR) gibi davranmaya çalışırken, aritmetik taşımaların neden olduğu entropi nedeniyle bu yapının nasıl bozulduğunu gözler önüne seriyor. Bu çalışma, Collatz Sanısı'nın altında yatan karmaşık dinamikleri anlamak için yeni bir yol sunuyor.
Collatz Sanısı'na sinyal işleme ve dinamik sistemler perspektifinden yaklaşarak, problemin altında yatan gizli entropik yapıları ve faz geçişi benzeri davranışları ortaya koyuyor.