Faktöriyel basamak sayısı Stirling yaklaşımıyla hesaplanabiliyor

Büyük faktöriyel değerlerinin basamak sayısı, bilgisayar veya hesap makinesi kullanmadan matematiksel yaklaşımlarla tahmin edilebiliyor. Eli Bendersky, yayımladığı teknik incelemede faktöriyel büyüklüklerini hızlıca hesaplamak için logaritma tabanlı bir formül sundu. Örnek olarak 52 faktöriyel ele alındığında, pratik yöntemle basamak sayısı 66 civarında hesaplanırken gerçek değerin 68 olduğu görülüyor. Bu tür devasa sayılarda birkaç basamaklık sapmalar kabul edilebilir bir hata payı sunuyor.

Yaklaşımın temelinde Gama fonksiyonu ve Stirling formülü yer alıyor. Faktöriyelin pozitif reel sayılar üzerindeki bir interpolasyonu olan Gama fonksiyonu, kısmi integrasyon yöntemiyle faktöriyel özelliklerini koruyor. İntegral içindeki değişken dönüşümleri ve Laplace yöntemi uygulandığında faktöriyeller için bilinen Stirling yaklaşımı elde ediliyor. Bu matematiksel çıkarım, küçük n değerlerinde bile işleyen güçlü bir analitik çerçeve sağlıyor.

Stirling formülünün 10 tabanındaki logaritması alındığında elde edilen denklem doğrudan sayının basamak sayısını veriyor. Formüldeki ilk terim n ile çarpılmadığı için n büyüdükçe etkisi azalsa da küçük ve orta büyüklükteki sayılarda fazladan bir veya iki basamak ekliyor. Analiz, 1600 faktöriyel gibi devasa sayılarda bile söz konusu ek terimin en fazla iki basamak fark yarattığını gösteriyor.