Karmaşık sayılar, $a + bi$ şeklinde ifade edilen, iki boyutlu varlıklardır ve bir düzlemde yaşarlar; yatay eksen gerçek kısmı, dikey eksen ise sanal kısmı temsil eder. Bir karmaşık sayıyı gerçek bir skalerle çarpmak, sayının büyüklüğünü değiştirirken yönünü korur. Ancak, $i$ (negatif birin karekökü) bir sayının üssüne yerleştirildiğinde, sayının dönmesine neden olur. Örneğin, $i$ ile çarpmak sayıyı $\pi/2$ döndürürken, $i^2 = -1$ ile çarpmak $\pi$ döndürür. Bu durum, üstel fonksiyonların büyüme ve çürüme ile ilişkilendirilmesine rağmen, $i$'nin neden dönme etkisi yarattığı ve sanal eksenin neden dikey olduğu gibi temel soruları akla getirir.
Bu gizemli bağlantı, tek bir dehanın eseri değil, üç yüzyıla yayılan bir keşif sürecinin sonucudur. Hikaye, 1572'de İtalyan matematikçi Rafael Bombelli'nin $\sqrt{-1}$'i bir hata olarak görmek yerine, kendi kuralları olan bir sayı olarak kabul etmesi ve aritmetik kurallarını tanımlamasıyla başlar. Bombelli, o dönemde "sofistike" ve "faydasız" görülen bu niceliklere bir "motor" inşa etmiştir. Onun bu cesur adımı, karmaşık sayıların matematiksel geçerliliğinin ilk temellerini atmıştır.
Bombelli'nin bu "motoru", 1748'de Leonhard Euler tarafından sonsuz serilere (günümüzde $e^x$'in Taylor açılımı olarak bilinen) dahil edildiğinde, büyüme ve salınımın aslında aynı şeyin farklı görünümleri olduğu ortaya çıkmıştır. Son olarak, 1799 ile 1831 yılları arasında, Norveçli bir haritacı, Parisli bir muhasebeci ve "matematikçilerin prensi" olarak anılan üç önemli isim (Wessel, Argand ve Gauss), $i$'ye nihayet bir geometrik yer, yani bir düzlemde bir "ev" vererek karmaşık sayıların görsel temsilini tamamlamışlardır. Bu süreç, aritmetik kurallardan analitik bağlantıya ve oradan da geometrik anlama doğru ilerleyen bir yolculuk olmuştur.
Karmaşık sayıların ve özellikle 'i' sayısının üstel fonksiyonlardaki dönüştürücü rolünün, matematik tarihinde yüzyıllara yayılan bir keşif süreciyle anlaşıldığını gösteriyor.